题目：逆映射定理与隐映射定理（1）

报告人：李良攀

报告类型：山东大学本科生分析数学选讲

报告时间：2020.11.03  Tuesday  18:00-19:00

腾讯会议ID：523 009 120

摘要：1877年左右意大利数学家Dini首次严格证明了标量值的隐函数定理。在之后的一段时间，人们运用归纳法把Dini的结果推广至向量值情形，即俗称的隐映射定理。1903年法国数学家Goursat运用累次迭代法，亦即现今所熟知的Banach压缩映像原理，给出了隐映射定理的一个简洁证明。1912年美国数学家Bliss给出了隐映射定理的一个基于极值原理，微分中值定理和一致连续性的可读性极高的初等证明，可惜在过去的100年这项优雅的工作几乎无人问津。逆映射定理即可独立予以证明，又可作为隐映射定理的构造性推论，或者本身就可以构造性导出隐映射定理。关于隐映射定理与逆映射定理更多详尽的介绍，可参见Krantz和Parks2013年出版发表的专著。

本次与下次报告将针对隐映射定理与逆映射定理展开系统性探究，涵盖如下手法，定理和要点。

（1）我们将改造Munkres关于经典逆映射定理以及Bliss关于经典隐映射定理两者共同基于极值原理的证明，将（标量值）微分中值定理替换为向量值Newton-Leibniz公式，给出新的简洁初等证明。

（2）我们将证明维数大于一的连续可微欧氏向量场在具有至多可数个临界点的情形下必为开映射。这一结论是经典逆映射定理的一个自然延伸，其蕴含复变函数中解析映射的开映像性质，并能导出代数基本定理。

（3）我们将解释如何运用道路连通性证明可微欧氏向量场的孤立临界点在如果还是零点的情形下（此为叙述方便实为平凡假设），该点必为孤立零点。这样的一条性质揭示了可微映射的孤立临界点与代数拓扑之间有着显著的联系，是以下诸多结果的奠基石。

（4）我们将解释如何证明维数大于二的可微欧氏向量场在具有至多有限个临界点的情形下必为局部同坯。

（5）我们将解释如何证明一个从n+m维欧氏开集到m维欧氏空间的连续映射在视n维坐标为哑元前提下满足任意截面映射为局部同坯，则隐映射局部唯一存在并且是连续映射。这样的一条性质褪去了诸多有关隐映射定理所涉及的微分结构，揭示了隐映射定理本质是拓扑学命题。

（6）我们还将解释如何得到一条新的隐映射定理，这里需要假设维数m大于一。约定给定的从n+m维欧氏开集到m维欧氏空间的映射是连续的以及某一个截面映射在某一点处为孤立临界点，则隐映射在该点附近必定局部存在，但是唯一性是没有保障的。这个结果推广了Alexander和Yorke1976年的一条定理，该定理给出的对应条件是非退化正则点。

（7）我们还将证明对可微性不做连续性假设的Hadamard微分同坯定理。

（8）我们认为与Brouwer不动点定理等价的No Retraction Theorem是帮助理解隐映射定理这一现象的关键。

报告人独立证明了以上提及的数学结论（2）至（6），尽管其初衷仅仅是在教学层面循着Stoll关于一维逆函数定理的证明思路去挑战一般维数下的隐映射定理。我们的报告将尽可能通俗，除了紧性，一致连续性，集合之间的距离函数和可微映射的基本概念之外，不再为一年级学生设立任何门槛。