题目：实数系的构建

报告人：李良攀

报告类型：山东大学本科生分析数学选讲

报告时间：2020.10.14 Wednesday 18:00-19:00

腾讯会议  ID: 172 045 001

摘要：

实数系无疑是数学分析教学的重点和难点。是否选择某个具体的实数系构造或是采用默认的方式如公理化方案，以及如何从诸多实数系基本定理中选定其中的第一条，使得自1872年Dedekind和Cantor严密构造了实数系以来，数学分析实数系的教学呈现了百花齐放的局面。

实数系的十进制构造很早即由Weierstrass倡导。这样的思路设定了以十进制无限小数作为实数的一种模型表示，因此研究实数十进制构造的重点落在了算术层面。很多数学家包括Stolz，Gowers，张筑生，都在这个问题上做出过尝试，普遍的思路就是将算术联系于反映序关系完备性的最小上界性质，或是联系于反映收敛性的Cauchy等价数列，亦或联系于混搭在序关系和收敛性之间的单调收敛定理。从以上三条性质出发构建实数系不存在逻辑的循环嵌套，关键在于它们都独立于实数的域结构。但若是我们对于序关系和收敛性进行仔细审查，以上思路没能完全脱离于Dedekind和Cantor早先所设定的思路。

华罗庚先生在为创立中国科学技术大学时撰写了《高等数学引论》，该书第一卷开篇即以最直观的方式为十进制无限小数定义了加法和减法运算，可是缺乏乘法和除法运算。吴文俊，林群，颜基义等多位中国数学前辈在不同的场合提及了华罗庚先生的实数构造工作，特别是吴文俊先生明确预言了华罗庚先生开创的实数构造能够被完成的。

这次报告将主要介绍报告人与Nicolas Fardin如何合作实现了吴文俊先生的预言。我们的这一实数十进制构造与收敛性彻底脱离，与序关系有着微乎其微的松散联系，在目前已知的几十个实数构造中是唯一的提出采用分类处理方案。这一手法看似略微冗长，但它良好解决了长期让人困惑的十进制无限小数四则运算中的999循环节进位问题，就中学大学衔接和数学本身的直观性而言，拥有无可辩驳的优势。